一般人でもいいの？
一般人でも良いです。
神職の方、神社に深く関わりのある方が行う
葬儀と思われがちですが、条件はありません。
一般の方でも神社でお葬式（神葬祭）は
執り行うことができます。
ちなみに神道でお葬式のことを「神葬際（しんそうさい）」と言います。
あまりにも知られていないため、神葬祭を選択される方が神社関係者に偏っていて、
一般人ではダメだという考えが出回っているのではないかと思います。
神道は「教え」というもがないので
日本の恵みに恩恵を受けていて、日本という土地で生きてきた人
という、いたってシンプルな考えのもと、神葬祭を行うことに制約はないようです。
一部のネット上で「神社の氏子にならないといけない」などの情報がありますが、
そのような縛りはありません。
氏子（うじこ）って？
そもそも氏子（うじこ）とは、その神社の関わる地域に住む人たちを
神社側からみて氏子とみているもの
なので、自分から「氏子になりま~す！」と改めることではないようです。
例えば、引っ越したらその土地の近くにある神社の氏子である、ということになります。
勝手に氏子にするな～ という意見も聞こえてきそうですが、
その土地を守っている守護神＝氏神様
↓
氏神様が守っている土地に住んでいる人＝氏子
なので、言い方は良くないですが住んでいる本人がどの宗教に沿っていようが氏神様は
勝手に守ってくれている。守っている人を氏子と呼んでいる。となります。
ただ昔と今では氏神、氏子の捉え方が違うようで、
神社本庁（日本全国の神社（一部除く）を統括している組織と思ってください）のHPでは
氏子について
元来は、文字通り氏姓を同じくする氏族の間で、自らの祖神（親神）や、
氏族に縁の深い神様を氏神と称して祀ったことに由来し、
この血縁的集団を氏子と呼んでいました。
と表記されています。そして現在は
現在のような地縁的な関係を指しては、産土神と産子という呼称がありますが、
地縁的関係についても、次第に氏神・氏子という呼び方が混同して用いられるように
なりました。
とあります。
神社へ直接話をお聞きしても、説明は現在の氏子の捉え方に沿っておられました。
檀家制度のようなものは？
神道では仏教でいう「檀家になる」等の決まりは基本的にはありません。
氏子だから何かしなくちゃいけない、ということでもありません。
檀家とは…
そのお寺に属し、お布施をしてお寺の財政を助ける家
実は財政を助けるというの意味ならば、神社においても「崇敬会（すうけいかい）」
というものがあり、神社ファンクラブみたいなものがあります。
もちろんファンクラブみたいなものなので強制ではなく、神葬祭をするにあたって
入らなければいけないものではありません。